1-1. Fourier Series 푸리에 급수 유도

저번글을 읽지 않으셨다면 읽고 오시길 추천드립니다.

 

Series(급수)

푸리에 급수를 알아보기 전에 먼저 급수가 무엇인지 부터 알아보도록 하겠습니다. 
급수란 수열의 모든 항을 더한 즉, 수열의 합입니다.  항의 개수가 무한하면 무한급수 유한하면 유한급수라고 합니다. 예를들어 수열 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$의 급수는 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 입니다.

 

Fourier Series

그럼 이제 푸리에 변환에 대해서 알아보도록 합시다. 

푸리에 급수는 모든 주기를 가진 복잡한 파동은 간단한 파동들의 합으로 나타낼 수 있을 것이라는 아이디어에서 부터 출발합니다. 

즉, 아래와 같이 주기를 가진 함수(복잡한 파동)를 삼각함수(단순한 파동)들의 합으로 나타낼 수 있다는 것입니다. 

x축이 시간이고 주기가 T인 함수 f(x)를 삼각함수들의 합으로 표현해보면 아래와 같이 표현 할 수 있습니다. ($w = 2\pi/T$)
$$\begin{align*}f(t) = a_0 &+ a_1\cos(wt)+a_2\cos(2wt)+a_3\cos(3wt) + \cdots +a_n\cos(nwt)+ \cdots\\
&+ b_1\sin(wt)+b_2\sin(2wt)+b_3\sin(3wt) + \cdots +b_n\sin(nwt)+ \cdots\\
&= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt)]
\end{align*}
$$
위 식에서 $f(x)$는 주기가 $T,\frac{T}{2},\frac{T}{3}, \cdots$ 인 $\cos, \sin$ 함수들의 합으로 나타내어 지고 있습니다. 
($\cos(ax)$의 주기: $\frac{2\pi}{a}$, ($\cos(wx)$의 주기: $\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T}} = T$ )

여기서 계수 a와 b즉, 각각의 삼각함수가 얼만큼 많이 더해지고 있는지(계수)를 알 수 있다면 주기 함수 f(x)를 삼각함수들의 합으로 나타낼 수 있을 것입니다.

재료

a와 b값을 구하기 위하여 필요한 것들을 먼저 알아봅시다. 증명은 다른 글에서 쓰도록 하겠습니다.
$$\begin{align}
&\int^{T}_{0}\sin(mwt)dt=0 & for\ any\ integer\ m\\
&\int^{T}_{0}\cos(mwt)dt=0 & for\ non-zero\ integer\ m\\
&\int^{T}_{0}\sin(mwt)\cos(nwt)dt=0 & for\ any\ integer\ m,n\\
&\int^{T}_{0}\sin(mwt)\sin(nwt)dt=0 & when\ ineteger\ m= n\ or\ m\neq n\\
&\int^{T}_{0}\sin^2(mwt)dt=\frac{T}{2} & when\ m\ is\ none-zero\ ineteger\\
&\int^{T}_{0}\cos(mwt)\cos(nwt)dt=0 & when\ ineteger\ m= n\ or\ m\neq n\\
&\int^{T}_{0}\cos^2(mwt)dt=\frac{T}{2} & when\ m\ is\ none-zero\ ineteger\\

\end{align}$$

계수 구하기

위와 같은 삼각함수의 성질을 이용하여 a들과 b들의 값을 구해보도록 하겠습니다.

$$\begin{align*}f(t) = a_0 &+ a_1\cos(wt)+a_2\cos(2wt)+a_3\cos(3wt) + \cdots +a_n\cos(nwt)+ \cdots\\
&+ b_1\sin(wt)+b_2\sin(2wt)+b_3\sin(3wt) + \cdots +b_n\sin(nwt)+ \cdots\\
\end{align*}
$$

 

먼저 $a_0$의 값 부터 구해 보도록 합시다. 

위 식의 양변을 적분하면 
$$\begin{align*}
\int_{0}^{T} f(t)dt &= \int_{0}^{T}[a_0 + a_1\cos(wt)+a_2\cos(2wt)+\cdots +a_n\cos(nwt)+ \cdots\\
&+ b_1\sin(wt)+b_2\sin(2wt)+ \cdots +b_n\sin(nwt)+ \cdots]dt\\\\
&= \int_{0}^{T}a_0dt + \int_{0}^{T}a_1\cos(wt)dt+\int_{0}^{T}a_2\cos(2wt)dt+ \cdots +\int_{0}^{T}a_n\cos(nwt)dt+ \cdots\\
&+ \int_{0}^{T}b_1\sin(wt)dt+\int_{0}^{T}b_2\sin(2wt)dt+ \cdots + \int_{0}^{T}b_n\sin(nwt)dt+ \cdots\\

\end{align*}
$$

여기에서 $\int^{T}_{0}\sin(mwt)dt=0$ , $\int^{T}_{0}\cos(mwt)dt=0$ 이기 때문에 $\int_{0}^{T}a_0dt$를 빼고 모두 0이 되어
$$\int_{0}^{T} f(t)dt = \int_{0}^{T}a_0 dt = Ta_0$$ 로 정리가 됩니다.  따라서 $a_0$의 값은 다음과 같습니니다.
$$a_0 = \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt$$

 

이제 $a_n$를 구해 보도록 합시다. 

이번에는 양변에 $\cos(nwt)$를 곱한 후에 적분을 합시다.
$$\begin{align*}
\int_{0}^{T} f(t)\cos(nwt)dt &= \int_{0}^{T}\cos(nwt)[a_0 + a_1\cos(wt)+a_2\cos(2wt)+\cdots +a_n\cos(nwt)+ \cdots\\
&+ b_1\sin(wt)+b_2\sin(2wt)+ \cdots +b_n\sin(nwt)+ \cdots]dt\\\\
&= \int_{0}^{T}a_0\cos(nwt)dt + \int_{0}^{T}a_1\cos(wt)\cos(nwt)dt+\int_{0}^{T}a_2\cos(2wt)\cos(nwt)dt+ \cdots +\int_{0}^{T}a_n\cos^2(nwt)dt+ \cdots\\
&+ \int_{0}^{T}b_1\sin(wt)\cos(nwt)dt+\int_{0}^{T}b_2\sin(2wt)\cos(nwt)dt+ \cdots + \int_{0}^{T}b_n\sin(nwt)\cos(nwt)dt+ \cdots\\
\end{align*}
$$
여기에서 $\int^{T}_{0}\sin(mwt)\cos(nwt)dt=0$ , $\int^{T}_{0}\cos(mwt)\cos(mwt)dt=0$,  $\int^{T}_{0}\cos(mwt)dt=0$이기 때문에 $\int_{0}^{T}a_n\cos^2(nwt)dt$를 빼고 모두 0이 되어 
$$\int_{0}^{T} f(t)\cos(nwt)dt = a_n\int_{0}^{T}\cos^2(nwt)dt = \frac{T}{2}a_n$$
로 정리가 됩니다.($\int^{T}_{0}\cos^2(mwt)dt=\frac{T}{2}$) 따라서 $a_n$의 값은 다음과 같습니다.
$$a_n = \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\cos(nwt)dt$$

$b_n$도 같은 방식으로 구할 수 있습니다. 

이번에는 양변에 $\sin(nwt)$를 곱한 후에 적분을 합시다.
$$\begin{align*}
\int_{0}^{T} f(t)\sin(nwt)dt &= \int_{0}^{T}\sin(nwt)[a_0 + a_1\cos(wt)+a_2\cos(2wt)+\cdots +a_n\cos(nwt)+ \cdots\\
&+ b_1\sin(wt)+b_2\sin(2wt)+ \cdots +b_n\sin(nwt)+ \cdots]dt\\\\
&= \int_{0}^{T}a_0\sin(nwt)dt + \int_{0}^{T}a_1\cos(wt)\sin(nwt)dt+\int_{0}^{T}a_2\cos(2wt)\sin(nwt)dt+ \cdots +\int_{0}^{T}a_n\cos(nwt)\sin(nwt)dt+ \cdots\\
&+ \int_{0}^{T}b_1\sin(wt)\sin(nwt)dt+\int_{0}^{T}b_2\sin(2wt)\sin(nwt)dt+ \cdots + \int_{0}^{T}b_n\sin^2(nwt)dt+ \cdots\\

\end{align*}
$$
여기에서 $\int^{T}_{0}\sin(mwt)\cos(nwt)dt=0$ , $\int^{T}_{0}\sin(mwt)\sin(mwt)dt=0$,  $\int^{T}_{0}\sin(mwt)dt=0$이기 때문에 $\int_{0}^{T}b_n\sin^2(nwt)dt$를 빼고 모두 0이 되어 
$$\int_{0}^{T} f(t)\sin(nwt)dt = a_n\int_{0}^{T}\cos^2(nwt)dt = \frac{T}{2}a_n$$
로 정리가 됩니다.($\int^{T}_{0}\sin^2(mwt)dt=\frac{T}{2}$) 따라서 $b_n$의 값은 다음과 같습니다.
$$b_n = \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\sin(nwt)dt$$

정리해 보자면 아래와 같습니다. 

$$\begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt\\
a_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\cos(nwt)dt\\
b_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\sin(nwt)dt
\end{align}$$

이제 우리는 주기함수 $f(x)$를 주기가 $T,\frac{T}{2},\frac{T}{3}, \cdots$ 인 $\cos, \sin$ 함수들의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있게 되었습니다. 
$$\begin{align*}
f(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt)]\\
&=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt + \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2}{T}\int^{T}_{0}[f(t)\cos(nwt)dt] \cos(nwt)+\frac{2}{T}\int^{T}_{0}[f(t)\sin(nwt)dt]\sin(nwt)]\\
&= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt +\frac{2}{T} \sum_{n=1}^{\infty}[\int^{T}_{0}[f(t)\cos(\frac{2\pi nt}{T})dt] \cos(\frac{2\pi nt}{T})+\int^{T}_{0}[f(t)\sin(\frac{2\pi nt}{T})dt]\sin(\frac{2\pi nt}{T})]\\
\end{align*}
$$

references
+ 푸리에 급수 (Fourier series) 쉽게 알기 :: Atom's Space
+ fourier-serie :: khanacademy