1-2. Fourier Series 푸리에 급수 유도 (오일러 공식)

저번글을 읽지 않으셨다면 읽고 오시길 추천드립니다.

Euler's Formula

이번글에서는 저번글에서 구했던 푸리에 급수를 오일러 공식을 이용하여 복소 표현으로 나타내어 보도록 하겠습니다.

먼저 오일러 공식이 뭔지 부터 이야기 해보도록 하겠습니다. 오일러 공식은 다음과 같습니다.
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$
이 걸 복소평면(x축 y축 대신 실수축 허수축으로 이루어진 좌표평면)에 표현해 보자면 아래와 같습니다.

그렇기에 $e^{i\theta}$하면 단위원과 각이 $\theta$인 직각삼각형을 떠올리면 될 것 같습니다.

그러면 오일러 공식을 이용하여 삼각함수를 표현하여 봅시다.
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 이고 $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ 이기 때문에 두식을 더하고 면 아래와 같아집니다.
$$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$$
$$e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$$
따라서 $\cos\theta$와 $\sin\theta$는 아래와 같이 표현 할 수 있습니다.
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$
$$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

오일러 공식을 이용해 푸리에 급수 표현하기

$$\begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt\\
a_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\cos(nwt)dt\\
b_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\sin(nwt)dt
\end{align}$$

이제 오일러 공식을 사용하여 위식을 표현해 봅시다.
$$\cos(nwt) = \frac{e^{inwt} + e^{-inwt}}{2}$$$$\sin(nwt) = \frac{e^{inwt} - e^{-inwt}}{2i}$$
이므로
$$\begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt\\
a_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\frac{e^{inwt} + e^{-inwt}}{2}dt\\
b_n &= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t) \frac{e^{inwt} - e^{-inwt}}{2i}dt
\end{align}$$
정리하면
$$\begin{align}
a_0 &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt\\
a_n &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{inwt} + e^{-inwt})dt\\
b_n &= \frac{1}{Ti}\int^{T}_{0}f(t)(e^{inwt} - e^{-inwt})dt
\end{align}$$
위와 같습니다.
아래에서 사용할 식을 미리 정리해봅시다.
$$\begin{align}
a_n - b_ni&= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(2e^{-inwt})dt\\
\frac{a_n - b_ni}{2} &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt=A_n\\\\
a_n + b_ni&= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(2e^{inwt})dt\\
\frac{a_n + b_ni}{2} &= \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{inwt})dt = B_n
\end{align}$$

이제 오일러 공식과 위의 식을 푸리에 급수에 대입하여 정리하여 봅시다.

먼저 오일러 공식을 이용하여 정리하여 보면 아래와 같습니다.

$$\begin{align*}f(t)
&= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt)\}\\
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{a_n}{2}(e^{inwt} + e^{-inwt})
+\frac{b_n}{2i}(e^{inwt} - e^{-inwt})\} \\
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{a_n}{2}(e^{inwt} + e^{-inwt})
-\frac{b_ni}{2}(e^{inwt} - e^{-inwt})\} \\
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{a_n - b_ni}{2}(e^{inwt})
-\frac{a_n+b_ni}{2}(e^{-inwt})\} \\
\end{align*}$$

여기에 위의 식을 대입합시다.
$$\begin{align*}f(t)
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\{A_ne^{inwt}-B_ne^{-inwt}\} \\
\end{align*} $$

그다음 시그마를 분리하면고 n을 -n으로 바꿔주면 아래와 같아집니다.
$$\begin{align*}f(t)
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{inwt}-\sum_{n=1}^{\infty}B_ne^{-inwt} \\
&=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{inwt}-\sum_{n=-1}^{-\infty}B_{-n}e^{inwt} \\
\end{align*}$$
이제 $a_0, A_n, B_n$을 대입하여 정리합시다.
$$\begin{align*}f(t)
&=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt + \sum_{n=1}^{\infty}e^{inwt}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt-\sum_{n=1}^{\infty}e^{inwt}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt \\
&=2e^{iwt\cdot0}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt + \sum_{n=1}^{\infty}e^{inwt}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt-\sum_{n=1}^{\infty}e^{inwt}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\{\int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt \}e^{inwt} \\
\end{align*}$$

따라서 최종 적인 푸리에 급수의 형태는 아래와 같습니다.
$$\begin{align*}f(t)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{inwt} \\
C_n &= \int^{T}_{0}f(t)(e^{-inwt})dt
\end{align*}$$

references

• 푸리에 급수 (Fourier series) 쉽게 알기 :: Atom's Space
• fourier-serie :: khanacademy